1. Понятие выпуклой и вогнутой функции

При исследовании функции бывает полезно установить, на каких промежутках функция выпуклая, а на каких – вогнутая.

Для определения выпуклой и вогнутой функции проведем касательные к графикам функции в произвольных точках х 1 и х 2 (рис. 15.1 и 15.2):

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.

Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба . В точке перегиба касательная будет пересекать кривую.

Функция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.

Так, график функции на рис.15.3 является выпуклым на промежутках (- ;х 1) и (х 2 ; + ); вогнутым на (х 1 ;х 2). График функции имеет две точки перегиба: (х 1 ;у 1) и (х 2 ;у 2).

1. Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции находят с помощью следующей теоремы:

Теорема . 1. Если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый.

2. Если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.

Представим критерий выпуклости-вогнутости функции в виде схемы:

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Заметим, что может менять свой знак лишь в тех точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода .

Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба ). Если вторая производная при переходе через точку х о меняет знак, то точка графика с абсциссой х о является точкой перегиба.

При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба можно использовать следующий алгоритм :

Пример 15.1. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение . 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: = .

3. Найдем вторую производную функции: =2х -6.

4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2х -6= 0 х =3.

5. На числовой оси отметим критическую точку х =3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2х -6 на каждом из полученных интервалов:

при х =0 (-∞;3) (0)=-6<0;

при х =4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

т. перегиба

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).

Значение х =3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х =3:

2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба.

Ответ : график функции выпуклый при х (-∞;3),

вогнутый при х (3;+ ∞); (3;2) – точка перегиба.

Пример 15.2 . Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .

Решение . 1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: х -7≠0 .

2. Найдем первую производную функции:

3. Найдем вторую производную функции: = =

Вынесем в числителе 2∙(х -7) за скобки:

= = = . (7;+∞) (8)= >0.

вогн.

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции является выпуклым при х (-∞;7), вогнутым при х (7;+ ∞).

Точка с абсциссой х =7 не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв).

Ответ : график функции выпуклый при х (-∞;7), вогнутый при х (7;+ ∞).

Контрольные вопросы:

Осталось рассмотреть выпуклость, вогнутость и перегибы графика . Начнём с так полюбившихся посетителям сайта физических упражнений. Пожалуйста, встаньте и наклонитесь вперёд либо назад. Это выпуклость. Теперь вытяните руки перед собой ладонями вверх и представьте, что держите на груди большое бревно… …ну, если не нравится бревно, пусть будет ещё что/кто-нибудь =) Это вогнутость. В ряде источников встречаются синонимичные термины выпуклость вверх и выпуклость вниз , но я сторонник коротких названий.

! Внимание : некоторые авторы определяют выпуклость и вогнутость с точностью до наоборот . Это математически и логически тоже верно, но зачастую совершенно некорректно с содержательной точки зрения, в том числе на уровне нашего обывательского понимания терминов. Так, например, двояковыпуклой линзой называют линзу именно «с бугорками», но никак не со «вдавленностями» (двояковогнутость).
А, скажем, «вогнутая» кровать – она всё-таки явно не «торчит вверх» =) (однако если под неё залезть, то речь уже зайдёт о выпуклости;=)) Я придерживаюсь подхода, который соответствует естественным человеческим ассоциациям.

Формальное определение выпуклости и вогнутости графика достаточно труднО для чайника, поэтому ограничимся геометрической интерпретацией понятия на конкретных примерах. Рассмотрим график функции , которая непрерывна на всей числовой прямой:

Его легко построить с помощью геометрических преобразований , и, наверное, многие читатели в курсе, как он получен из кубической параболы.

Назовём хордой отрезок, соединяющий две различные точки графика.

График функции является выпуклым на некотором интервале, если он расположен не ниже любой хорды данного интервала. Подопытная линия выпукла на , и, очевидно, что здесь любая часть графика расположена НАД своей хордой . Иллюстрируя определение, я провёл три чёрных отрезка.

График функции являются вогнутым на интервале, если он расположен не выше любой хорды этого интервала. В рассматриваемом примере пациент вогнут на промежутке . Пара коричневых отрезков убедительно демонстрирует, что тут и любой кусок графика расположен ПОД своей хордой .

Точка графика, в которой он меняет выпуклость на вогнутость или вогнутость на выпуклость, называется точкой перегиба . У нас она в единственном экземпляре (первый случай), причём, на практике под точкой перегиба можно подразумевать как зелёную точку , принадлежащую самой линии, так и «иксовое» значение .

ВАЖНО! Перегибы графика следует изображать аккуратно и очень плавно . Недопустимы всевозможные «неровности» и «шероховатости». Дело за небольшой тренировкой.

Второй подход к определению выпуклости/вогнутости в теории даётся через касательные:

Выпуклый на интервале график расположен не выше касательной, проведённой к нему в произвольной точке данного интервала. Вогнутый же на интервале график – не ниже любой касательной на этом интервале.

Гипербола вогнута на интервале и выпукла на :

При переходе через начало координат вогнутость меняется на выпуклость, однако точку НЕ СЧИТАЮТ точкой перегиба, так как функция не определена в ней.

Более строгие утверждения и теоремы по теме можно найти в учебнике, а мы переходим к насыщенной практической части:

Как найти интервалы выпуклости, интервалы вогнутости
и точки перегиба графика?

Материал прост, трафаретен и структурно повторяет исследование функции на экстремум .

Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции .

Пусть функция дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:

– если вторая производная на интервале, то график функции является выпуклым на данном интервале;

– если вторая производная на интервале, то график функции является вогнутым на данном интервале.

На счёт знаков второй производной по просторам учебных заведений гуляет доисторическая ассоциация: «–» показывает, что «в график функции нельзя налить воду» (выпуклость),
а «+» – «даёт такую возможность» (вогнутость).

Необходимое условие перегиба

Если в точке есть перегиб графика функции , то:
либо значения не существует (разберём, читайте!) .

Данная фраза подразумевает, что функция непрерывна в точке и в случае – дважды дифференцируема в некоторой её окрестности.

Необходимость условия говорит о том, что обратное справедливо не всегда. То есть из равенства (либо небытия значения ) ещё не следует существования перегиба графика функции в точке . Но и в той, и в другой ситуации называют критической точкой второй производной .

Достаточное условие перегиба

Если вторая производная при переходе через точку меняет знак, то в данной точке существует перегиб графика функции .

Точек перегиба (встретился уже пример) может не быть вовсе, и в этом смысле показательны некоторые элементарные образцы. Проанализируем вторую производную функции :

Получена положительная функция-константа, то есть для любого значения «икс» . Факты, лежащие на поверхности: парабола вогнута на всей области определения , точки перегиба отсутствуют. Легко заметить, что отрицательный коэффициент при «переворачивает» параболу и делает её выпуклой (о чём нам сообщит вторая производная – отрицательная функция-константа).

Экспоненциальная функция также вогнута на :

для любого значения «икс».

Точек перегиба у графика , разумеется, нет.

Исследуем на выпуклость/вогнутость график логарифмической функции :

Таким образом, ветка логарифма является выпуклой на интервале . Вторая производная определена и на промежутке , но рассматривать его НЕЛЬЗЯ , поскольку данный интервал не входит в область определения функции . Требование очевидно – коль скоро там нет графика логарифма, то ни о какой выпуклости/вогнутости/перегибах речи, естественно, не заходит.

Как видите, всё действительно очень напоминает историю с возрастанием, убыванием и экстремумами функции . Похож и сам алгоритм исследования графика функции на выпуклость, вогнутость и наличие перегибов :

2) Разыскиваем критические значения. Для этого берём вторую производную и решаем уравнение . Точки, в которых не существует 2-й производной, но которые входят в область определения самой функции – тоже считаются критическими!

3) Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки (ни тех, ни других может не оказаться – тогда чертить ничего не надо (как и в слишком простом случае), достаточно ограничиться письменным комментарием) . Методом интервалов определяем знаки на полученных интервалах. Как только что пояснялось, рассматривать следует только те промежутки, которые входят в область определения функции . Делаем выводы о выпуклости/вогнутости и точках перегиба графика функции . Даём ответ.

Попытайтесь устно применить алгоритм для функций . Во втором случае, кстати, пример, когда в критической точке не существует перегиба графика. Впрочем, начнём с ненамного более сложных заданий:

Пример 1

Решение :
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Очень хорошо.

2) Найдём вторую производную. Можно предварительно выполнить возведение в куб, но значительно выгоднее использовать правило дифференцирование сложной функции :

Заметьте, что , а значит, функция является неубывающей . Хоть это и не относится к заданию, но на такие факты всегда желательно обращать внимание.

Найдём критические точки второй производной:

– критическая точка

3) Проверим выполнение достаточного условия перегиба. Определим знаки второй производной на полученных интервалах .

Внимание! Сейчас работаем со второй производной (а не с функцией!)

В результате получена одна критическая точка: .

3) Отметим на числовой прямой две точки разрыва, критическую точку и определим знаки второй производной на полученных интервалах:

Напоминаю важный приём метода интервалов , позволяющий значительно ускорить решение. Вторая производная получилась весьма громоздкой, поэтому не обязательно рассчитывать её значения, достаточно сделать «прикидку» на каждом интервале. Выберем, например, точку , принадлежащее левому промежутку,
и выполним подстановку:

Теперь анализируем множители:

Два «минуса» и «плюс» дают «плюс», поэтому , а значит, вторая производная положительна и на всём интервале .

Закомментированные действия несложно выполнить устно. Кроме того, множитель выгодно игнорировать вообще – он положителен при любом «икс» и не оказывает влияния на знаки нашей второй производной.

Итак, какую информацию нам предоставила ?

Ответ : график функции является вогнутым на и выпуклым на . В начале координат (ясно, что ) существует перегиб графика.

При переходе через точки вторая производная тоже меняет знак, но они не считаются точками перегиба, так как функция терпит в них бесконечные разрывы .

В разобранном примере первая производная сообщает нам о росте функции на всей области определения . Всегда бы такая халява =) Кроме того, очевидно наличие трёх асимптот . Данных получено много, что позволяет с высокой степенью достоверности представить внешний вид графика. До кучи, функция ещё и нечётная. Исходя из установленных фактов, попытайтесь выполнить набросок на черновике. Картинка в конце урока.

Задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Исследовать график функции на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба графика, если они существует.

Чертежа в образце нет, но гипотезу выдвинуть не возбраняется;)

Шлифуем материал, не нумеруя пункты алгоритма:

Пример 7

Исследовать график функции на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба, если они существует.

Решение : функция терпит бесконечный разрыв в точке .

У нас как обычно, всё отлично:

Производные не самые трудные, главное быть внимательным с их «причёской».
В наведённом марафете обнаруживаются две критические точки второй производной:

Определим знаки на полученных интервалах:

В точке существует перегиб графика, найдём ординату точки:

При переходе через точку вторая производная не меняет знак, следовательно, в ней НЕТ перегиба графика.

Ответ : интервалы выпуклости: ; интервал вогнутости: ; точка перегиба: .

Рассмотрим заключительные примеры с дополнительными примочками:

Пример 8

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

Решение : с нахождением области определения особых проблем не возникает:
, при этом в точках функция терпит разрывы.

Идём проторенной дорогой:

– критическая точка.

Определим знаки , при этом рассматриваем интервалы только из области определения функции :

В точке существует перегиб графика, вычислим ординату:

График функции y =f(x) называется выпуклым на интервале (a; b) , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y =f(x) называется вогнутым на интервале (a; b) , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c) .

Примеры.

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема . Пусть y =f(x) дифференцируема на (a; b) . Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ""(x ) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ""(x ) > 0 – вогнутый.

Доказательство . Предположим для определенности, что f ""(x ) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M 0 с абсциссой x 0 Î (a ; b ) и проведем через точку M 0 касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x) . Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x . Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x 0) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x 0 .

Таким образом,

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c 1 между c 0 и x 0 . По условию теоремы f ""(x ) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x 0 Î (a ; b ), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Примеры .

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба .

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема . Пусть кривая определяется уравнением y = f(x) . Если f ""(x 0) = 0 или f ""(x 0) не существует и при переходе через значение x = x 0 производная f ""(x ) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x 0 есть точка перегиба.

Доказательство . Пусть f ""(x ) < 0 при x < x 0 и f ""(x ) > 0 при x > x 0 . Тогда при x < x 0 кривая выпукла, а при x > x 0 – вогнута. Следовательно, точка A , лежащая на кривой, с абсциссой x 0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ""(x ) > 0 при x < x 0 и f ""(x ) < 0 при x > x 0 .

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x) , если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.

Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Пусть при x → x 0 с какой-либо стороны функция y = f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x 0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x 0 является асимптотой, т. о. .

Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x → x 0 – 0 или x → x 0 + 0, x = x 0

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x 0 , при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x 0 .

Примеры.

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b . Наша задача найти коэффициенты k и b .

Теорема . Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство . Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox . Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

Общая схема исследования функции и построение графика.
1. Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

1. 
   
2. 
   Асимптоты графика функции.

Введение.

В школьном курсе математики вы уже встречались с необходимостью построения графиков функций. В , вы использовали способ построения по точкам. Следует отметить, что он прост по идее и сравнительно быстро приводит к цели. В случаях, когда функция непрерывна и изменяется довольно плавно, такой способ может обеспечить и необходимую степень точности графического представления. Для этого нужно брать побольше точек, чтобы достичь определённой густоты их размещения.

Предположим теперь, что функция в отдельных местах имеет особенности в своём «поведении»: либо её значения где-то на малом участке резко меняются, либо имеют место разрывы. Наиболее существенные части графика таким способом могут и не быть обнаружены.

Это обстоятельство и снижает ценность способа построения графика «по точкам».

Существует второй способ построения графиков, основанный на аналитическом исследовании функций. Он выгодно отличается от способа, рассмотренного в школьном курсе математики.

1. Исследование функции на выпуклость и вогнутость .

Пусть функция
дифференцируема на интервале (а, в). Тогда существует касательная к графику функции в любой точке
этого графика (
), причем касательная не параллельна оси OY , так как ее угловой коэффициент, равный
, конечен.

О
пределение Будем говорить, что график функции
на (а, в) имеет выпускать, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, в).

а) вогнутая кривая б) выпуклая кривая

Теорема 1 (необходимое условие выпуклости (вогнутости) кривой).

Если график дважды дифференцируемой функции выпуклая (вогнутая) кривая , то вторая производная на интервале (а, в) отрицательна (положительна) на этом интервале.

Теорема 2 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой).

Если функция дважды дифференцируема на (а, в) и
(
) во всех точках этого интервала, то кривая, являющаяся графиком функции выпуклая (вогнутая) на этом интервале.

1. 
   Точки перегиба графика функции.

Определение Точка
называется точкой перегиба графика функции , если в точке
график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа точки имеет разные направления выпуклости.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит над касательной, а с другой – под нею, т. е. в окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны касательной на другую и «перегибается» через нее. Отсюда и произошло название «точки перегиба».

Теорема 3 (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции имеет перегиб в точке и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда
.
Не всякая точка , для которой , является точкой перегиба. Например, график функции
не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя
при
. Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба.

Точки графика, для которых называется критическими точками II -го рода. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегибав каждой критической точке.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности
имеет разные знаки слева и справа от точки , то график имеет перегиб в точке .
Замечание. Теорема остается верной, если
имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки , и существует касательная к графику функции в точке
. Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график к функции имеет перегиб в точке .
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Пример. Исследовать функцию
на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
1.

2.
,
=

3. не существует при

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Асимптоты графика функции.

При исследовании поведения функции при
или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называют.

Определение 1. Прямая называется асимптотой кривой L, если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки по кривой к бесконечности. Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Определение 2. Прямая
называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен
, т. е. или

Например, график функции
имеет вертикальную асимптоту
, т. к.
, а
.

Определение 3. Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графика функции при
если
.

Например, график функции имеет горизонтальную асимптоту у=0 , т. к.
.

Определение 4. Прямая
(
) называется наклонной асимптотой графика функции при
если
;

Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая асимптот не имеет. Если, то следует искать эти пределы отдельно, при и
.

Например. Найти асимптоты графика функции

; х=0 – вертикальная асимптота

;
.

- наклонная асимптота.
4. Схема полного исследования функции и построение графика.

Рассмотрим примерную схему по которой целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график.

Пример. Исследовать функцию
и построить ее график.

1. , кроме х=-1.

2.
функция ни четная ни нечетная

-

-



+

+

y

-4


т р.

0

Заключение.
Важной особенностью рассмотренного способа является то, что в его основе лежит прежде всего обнаружение и изучение характерных особенностей в поведении кривой. Места, где функция изменяется плавно, не изучаются особенно подробно, да и нет надобности в таком изучении. Зато те места , где функция имеет какие-либо особенности в поведении, подлежат полному исследованию и максимально точному графическому изображению. Этими особенностями являются точки максимума, минимума, точки разрыва функции и др.

Определение направления вогнутости и перегибов, а также указанный способ нахождения асимптот дают возможность провести исследование функций ещё более детально и получить более точное представление об их графиках.

С помощью онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word . Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с помощью матрицы Гессе .

Правила ввода функций :

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение : Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение : Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение : Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x) , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции y=f(x) , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x) , в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

1. Найти вторую производную f’’(x) .
2. Найти критические точки II рода функции y=f(x) , т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если при этом критическая точка x 0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x 0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1 . Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0 . x=2 .


f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞) ; функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2) ; точка перегиба (2;16) .

Пример 2 . Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Пример 3 . Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4