Способы решения квадратных уравнений. Исследовательская работа "10 способов решения квадратных уравнений" 10 способов решения квадратных уравнений

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1 .1 Квадратные урав нения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные урав нения у ал - Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равно D ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. При этом символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. При этом имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х 2 + 10х - 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2* х * 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2* х * 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2* х * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + b х + с = 0, а? 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах * b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± v b 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4 ac >0 , уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0 , то уравнение

ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4 ac < 0 ,

уравнение ах 2 + b х + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q ,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.

Например,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, где а? 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х 2 - 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 - 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, где а? 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а? 0, получим приведенное квадратное уравнение

x 2 + b / a * x + c / a = 0.

Согласно теореме Виета

x 1 + x 2 = - b / a ,

x 1 x 2 = 1* c / a .

По условию а - b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 - c/a,

x 1 x 2 = - 1* (- c/a),

т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что м требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х 2 - 137х - 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 - 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 - 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2 k - четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 -- 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = -- 14, с = 16, k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х 2 + рх + q = 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р -- четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 - 14х - 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 =7±

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х 2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х 2 = - px - q .

Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

Прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х 2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4 . Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13) . Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х 1 = - 1 и х 2 = 4 . Ответ : х 1 = - 1;

х 2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 - 2х + 1 = 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х - 1 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N (1/2; 0) . Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1 . Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 5х - 5 . Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х - 5 . Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при всём этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB * OD = OA * OC , откуда OC = OB * OD / OA = х 1 х 2 / 1 = c / a .

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK , или R > a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример.

Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z 2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни

z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммыуравнение

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

3) Для уравнения

z 2 - 25 z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5 t 1 = 3,0 и z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4* 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25* 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у - 16 = 0 .

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у 2 - 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 - 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у - 3 . Заменяя выражение у 2 - 6у равным ему числом 16,

получаем: (у - 3) 2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± v25 , или у - 3 = ± 5, где у 1 = 8 и у 2 = - 2.

Заключение

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

При этом, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х 2 + 10х - 24 = 0 .

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 .

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2* х * 3.

х 2 + 2* х * 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2* х * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а? 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах * b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± v b 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение

ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4ac < 0 ,

уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.

Например,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 + bх + с = 0, где а? 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а .

Решим уравнение 2х 2 - 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 - 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + bх + с = 0, где а? 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а? 0, получим приведенное квадратное уравнение

x 2 + b/a * x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x 1 + x 2 = - b/a,

x 1 x 2 = 1* c/a.

По условию а - b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 - c/a,

x 1 x 2 = - 1* (- c/a),

т.е. х 1 = -1 и х 2 = c/a , что м требовалось доказать.

1) Решим уравнение 345х 2 - 137х - 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 - 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 - 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k - четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 -- 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = -- 14, с = 16, k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х 2 + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р -- четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 - 14х - 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 =7±

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х 2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х 2 = - px - q.

Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

Прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1) Решим графически уравнение х 2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4 . Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13) . Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х 1 = - 1 и х 2 = 4 . Ответ : х 1 = - 1;

х 2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 - 2х + 1 = 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х - 1 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N(1/2; 0) . Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1 . Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Ответ. Уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + bх + с = 0 , и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB * OD = OA * OC , откуда OC = OB * OD / OA= х 1 х 2 / 1 = c/a.

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a) , окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 - корень квадратного уравнения.

Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z 2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

1) Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни

z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

3) Для уравнения

z 2 - 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t , получим уравнение

t 2 - 5t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5t 1 = 3,0 и z 2 = 5t 2 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у - 16 = 0 .

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

3) Решить геометрически уравнение у 2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у 2 - 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у 2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 - 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у - 3 . Заменяя выражение у 2 - 6у равным ему числом 16,

получаем: (у - 3) 2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± v25 , или у - 3 = ± 5, где у 1 = 8 и у 2 = - 2.

Шаповалова Л.А. (ст. Егорлыкская, МБОУ ЕСОШ № 11)

1. Мордкович А.Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. № 8622 / 0790 – М.: Мнемозина, 2013. № 8622 / 0790 – 260 с.

2. Мордкович А.Г. Алгебра.8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. № 8622 / 0790 – М.: Мнемозина, 2013. № 8622 / 0790 – 270 с.

3. Глейзер Г.И. История математики в № 8622 / 0790 школе / Г.И. Глейзер. № 8622 / 0790 – М.: Просвещение, 1982. № 8622 / 0790 – 340 с.

4. Гусев В.А. Математика. Справочные материалы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. № 8622 / 0790 – М.: Просвещение, 1988. № 8622 / 0790 – 372 с.

5. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы / В.М. Брадис. № 8622 / 0790 – М.: Просвещение, 1990. № 8622 / 0790 – 83 с.

6. Теорема Виета. № 8622 / 0790 – Режим доступа: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta/ Теорема Виета(ресурсы удаленного доступа (Internet)). 20.01.2016.

7. Квадратные уравнения. № 8622 / 0790 – Режим доступа: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (ресурсы удаленного доступа (Internet)). 20.01.2016.

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами их этих уравнений. Поэтому я выбрал тему «10 способов решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цель работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения.

Рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

Научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования:

Теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;

Анализ полученной информации;

Сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.

Методы решения квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где х - переменная, a, b и с - некоторые числа, при этом а? 0. Корень такого уравнения - это значение переменной, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент а называют первым или старшим, коэффициент b называют вторым или коэффициентом при х, с называется свободным членом этого уравнения.

Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля (a, b, c - 0).

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент а: x 2 + px + q = 0, р = b/a, q = c/a.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ax 2 + c = 0, где с - 0;

2) ax 2 + bx = 0, где b - 0;

В рамках данной работы мы будем рассматривать способы решения только полных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений по общей формуле

Для решения квадратных уравнений применяется способ нахождения корней через дискриминант. Для нахождения дискриминанта используется следующая формула D = b 2 - 4ac. После нахождения D мы используем формулу для нахождения корней уравнения

Стоит заметить, что если:

D > 0 - уравнение имеет два корня;

D = 0- уравнение имеет один корень;

D < 0 - уравнение не имеет корней.

Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.1).

Рис. 1. Практическая часть

Разложение левой части на множители

Для демонстрации способа решим уравнение x 2 + 10x - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(x + 12) (x - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при x = 2, а также при x = -12.

Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.2).

Выделение полного квадрата - это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде (a ± b) 2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

Решим уравнение x 2 + 14x + 40 = 0.

Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.

Для применения первой формулы необходимо получить выражение

x 2 + 14x + 49 = 0.

Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x 2 + 14x + 40 число 9, чтобы выделить полный квадрат

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Применим формулу «разность квадратов» a2 - b2 = (a - b)·(a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3)(x + 7 + 3) = 0

(x + 4)(x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Ответ: -4; - 10.

Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.3).

Решение уравнений с помощью теоремы Виета

Для решения полного квадратного уравнения по теореме Виета нужно разделить всё уравнение на коэффициент а. Для уравнения x 2 + px + q = 0, если х1 и х2 его корни, справедливы формулы:

Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.4).

Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов

Если выполняется следующее условие: а + с = b, то x1 = - 1; x2 = - с/а.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Если выполняется следующее условие:

а + b + c = 0, то x1 = 1; x2 = с/а.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Пример невозможности решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.5).

Решение уравнений способом «переброски»

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем: умножим уравнение ax 2 + bx + с = 0 на а.

Получим: a 2 x2 + abx + aс = 0. Введём новую переменную y = ax. Получим y 2 +by+ac = 0. Корни этого уравнения y1 и y2.Следовательно х1 = y1/a; х2 = y2/a.

Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.6).

Решим уравнение x 2 - 4x - 12 = 0.

Представим его в виде x 2 - 4x = 12.

На рис. 2 «изображено» выражение x - 4x, т.е. из площади квадрата со стороной х дважды вычитается площадь квадрата со стороной 2. Значит х 2 - 4х + 4 есть площадь квадрата со стороной х - 2.

Выполнив замену x 2 - 4x = 12, получим

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Ответ: x1 = 6, x1 = - 2.

Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.7).

В уравнении x 2 + px + q = 0 перенесём второй и третий члены в правую часть уравнения. Получим: x 2 = - px - q. Построим графики функций

y = x 2 (парабола);

y = - qx - p (прямая).

Следует учесть, что:

Если прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

Если прямая касается параболы (только одна общая точка), то уравнение имеет один корень;

Если прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решение уравнения при помощи циркуля и линейки

Решим уравнение ax 2 + bx + c = 0:

1) построим на координатной плоскости точки:

A(- b/2a; (a + c)/2a) - центр окружности и В(0; 1)

2) Проведём окружность r = AB

3) Абсциссы точек пересечения с осью Ox есть корни исходного уравнения

Следует учесть, что:

Если радиус окружности больше ординаты центра (AB > АС, или R > (a + c)/2a), окружность.

Пересекает ось абсцисс в двух точках К(х1; 0) и N(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения x2 + bx + c = 0.

Если радиус окружности равен ординате центра (AB = AС, или R = (a + c)/2a), окружность касается оси абсцисс в точке С(х; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.

Если радиус окружности меньше ординаты центра (AB < AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример решения уравнения данным способом показан на рис. 1(1.9).

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений.

Номограмма даёт значения положительных корней уравнения z 2 + pz + q = 0. Если уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из - р.

Рис. 6. Вид монограммы для решения уравнения z 2 + pz + q = 0

В случае, когда оба корня отрицательны, берут z = - t и находят по номограмме два положительных корня t1; t 2 уравнения t 2 + - pt + z = 0, а затем z1 = - t1; z 2 = - t2.

Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкал, выполняют подстановку z = kt и решают посредством номограммы уравнение

где k берётся с таким расчётом, чтобы имели место неравенства

Вид монограммы для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 можно найти на рис. 6.

«Плюсы» и «минусы» различных способов решения

Название способа решения квадратных уравнений
Решение квадратных уравнений по формуле	Можно применить ко всем квадратным уравнениям.	Нужно выучить формулы.
Разложение левой части уравнения на множители	Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.	Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки.
Метод выделения полного квадрата	За минимальное количество действий можно найти корни уравнений	Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета	Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.	легко находятся только целые корни.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения	Не требует особых усилий	Подходит только к некоторым уравнениям
Решение уравнений способом переброски	За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.	легко найти только целые корни.
Геометрический способ решения квадратных уравнений	Наглядный способ.	похож на способ выделения полного квадрата
Графическое решение квадратного уравнения	Наглядный способ	Могут быть не точности при составлении графиков
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки	Наглядный способ	Могут быть не точности
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы	Наглядный способ, прост в применении.	Не всегда под рукой имеется номограмма.

Заключение

В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме, изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения 10 способами. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее рациональными для использования будут способы, изучаемые в школе: 1.1. (по формуле); 1.4. (по теореме Виета); а также способ 1.5. (используя свойства коэффициентов).

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам не только в школе и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни.

Библиографическая ссылка

Улевский С.А. ДЕСЯТЬ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ // Старт в науке. – 2016. – № 1. – С. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (дата обращения: 30.12.2019).

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952">МОУ «Сергиевская средняя общеобразовательная школа»

Выполнил: Сизиков Станислав

Учитель:

с. Сергиевка, 2007 год

1. Введение. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………….3

2. Квадратные уравнения у Диафанта…………..………………………….4

3. Квадратные уравнения в Индии …………………………………………5

4. Квадратные уравнения у ал - Хорезми …………………………………..6

5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XYII…………………………...7

6. О теореме Виета …………………………………………………………..9

7. Десять способов решения квадратных уравнений……………………..10

8. Заключение ………………………………………………………………20

9. Список литературы ……………………………………………………...21

Введение

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений. Мы все умеем решать квадратные уравнения, начиная с 8 класса . А как же зарождалась и развивалась история решения квадратных уравнений?

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков ; земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне . Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: х2 + х = , : х2 - х = 14https://pandia.ru/text/78/082/images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = х; Бхаскара пишет под видом

х2 - 64х = - 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: х2 - 64х + 322 = - 768 + 1024;

(х - 32)2 = 256; х - 32 = ± 16, xt = 16, хг = 48.

Квадратные уравнения у ал - Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов равнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = вх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = вх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + вх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. вх + с = ах2 . Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2+ 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака» (изданная в Риме в середине прошлого века «Книга абака» Фибоначчи содержит 459 страниц), написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + вх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов в, с было сформулировано в Европе лишь в 1544г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардако, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если В + D , умноженное на А минус А2, равно BD , то А равно В и равно D ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая
гласная буква, означала у него неизвестное (наше х), гласные же
В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + в)х - х 2 = ab , х2 - (а+ b ) x + ab = 0, х1 = а, х2 = в.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны

Десять способов решения квадратных уравнений

1. Разложение левой части уравнения на множители

Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 =

Х(х + х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что числа 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

2. Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2*х*3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2 х 3 +– 7 = (х - = (х – З)2 - 16.

Таких образом, данное ypaвнение можно записать так:

(х + = 0, т. е. (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 = 4 х1 = 1, или х + 3 = - 4, х2 = - 7.

3. Решение квадратных уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения

ах2 + вх + с = 0, а ≠ 0, на 4а и последовательно имеем:

4а2 х2 + 4 abx + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2 axb + b 2 ) - b 2 + 4ас = 0,

(2ах + b )2 = в2 - 4ас,

2ах + b = ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, х1,2 =

В случае положительного дискриминанта, т. е. при в2 - 4ас > 0, уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет два различных корня.

Если дискриминант равен нулю, т. е. в2 - 4ас = 0, то уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет единственный корень, х = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62">Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид

х1 х2 = q ,

х1 + х2 = - р.

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам р и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1)
положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых
по знаку корня и это зависит от второго коэффициента р
Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба
корня положительны.

Например,

х2 - 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 u p = - 3 < 0;

х2 + 8х + 7 = 0; х 1 = - 7 и х2 = - 1, так как q = 7 > 0 и р = 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1)
отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если р < 0, или отрицателен, если р > 0.

Например,

х2 + 4х - 5 = 0; х1 = - 5 и х2 = 1, так как q = - 5 < 0 и р = 4 > 0;

х2 - 8х - 9 = 0; х1 = 9 и х2 = - 1, так как q = - 9 < и р = - 8 < 0.

5. Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + abx + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х =; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

1. Решим уравнение 2х2 - 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 - 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета у1 = 5, у2 = 6, отсюда х1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41">, т. е.

х1 = 2,5 х2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0.

1. Если а + в + с = 0 {т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .

2. Если а - в + с = 0, или b = а + с, то х1 = - 1, х 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

Ответ: 1; 184">

Возможны следующие случаи:

Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

Прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение;

Прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1. Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М(0; 4) и N(3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А к В с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4.

Ответ: х1 = - 1, х, = 4.

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения

ах2 + вх + с = 0

с помощью циркуля и линейки (рис.).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1; 0) и D (x 2 ; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + вх +с =0,
и проходит через точки А(0; 1) и С(0; ) на оси ординат..gif" width="197" height="123">

Итак: 1) построим точки https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> окружность пересекает ось ОХ в точке В(х1;0), и D(x1; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2+bx+c= 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра , окружность касается оси Ох в точке В(х1;0), где хх - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра left">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Откуда после подстановок и

упрощений вытекает уравнение z2+pz+q=0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

И четырех пристроенных квадратов т. е. S=x2+10x+25. Заменяя x2+10x числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Заключение

Мы все умеем решать квадратные уравнения, начиная со школьной скамьи, до окончания вуза. Но в школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, изучив по глубже этот вопрос, я убедился в том, что имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Может быть математика где-то там в иных измерениях, глазом не видных, - записана вся и мы лишь достаем все новые факты из дыры с мирами? ... Бог весть; но выходит, что если физикам, химикам, экономистам или археологам понадобится новая модель устройства мира, эту модель всегда можно взять с полки, куда её триста лет назад положили математики, либо собрать из деталей, лежащих на той же полке. Возможно, эти детали придется покрутить, подгоняя друг до друга, отшлифовать, выточить быстренько парочку новых втулок-теорем; но теория результат не только опишет реально возникнувшую ситуацию, но и предскажет последствия! ...

Странная штука - эта игра ума, которая всегда права...

Литература

1.Алимов ША., Ильин ВА. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классов средней школы . - М., Просвещение, 1981.

2.Брадис математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

3.Злоцкий -задания при обучении математике. Книга для учителя. - М., Просвещение, 1992.

4.М., Математика (приложение к газете «Первое сентября), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5.Окунев функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

6.Соломник B. C., Милое вопросов и задач по математике. Изд. 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

7.М., Математика (приложение к газете «Первое сентября), № 40, 2000г.

Рецензия

на работу ученика 11 класса МОУ «Сергиевская средняя

общеобразовательная школа»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Брянская область Жуковский район

МОУ Ржаницкая средняя общеобразовательная школа

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ

Павликов Дмитрий, 9 кл.

Руководитель: Приходько Юрий
Владимирович,

учитель математики.

БРЯНСК, 2009 год

I . История развития квадратных уравнений ……………………….2

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………..2

2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………...2

3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………...3

4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми ………………………………4

5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв………………..........5

6. О теореме Виета ………………………………………………………6

II . Способы решения квадратных уравнений ……………………….7

Способ…………………………………………………………………7

Способ………………………………………………………………....9

Способ………………………………………………………………...10

Способ………………………………………………………………...12

Способ………………………………………………………………...13

Способ………………………………………………………………...15

Способ………………………………………………………………...16

III . Заключение …………………………………………………..............18

Литература ……………………………………………………………….19

История развития квадратных уравнений.

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

3. Квадратные уравнения в Индии.

ах 2 + b х = с, а 0. (1)

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

(x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

4. Квадратные уравнения у ал - Хорезми.

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Приведем пример:

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

6. О теореме Виета.

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Итак: Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х - 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4а b х + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 - 4 ac 0 , уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0 , то уравнение

ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4 ac , уравнение

ах 2 + b х + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q ,

x 1 + x 2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р, то оба корня отрицательны, если р, то оба корня положительны.

Например,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 0 и p = - 3

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 0 и p = 8 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p 0 .

Например,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 и p = 4 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 и p = - 8

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + а b х + ас = 0.

Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у 2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 1 = у 2 /а . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример.

Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5

у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1,

х 2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x 2 + b / a x + c / a = 0.

Согласно теореме Виета

x 1 + x 2 = - b / a ,

x 1 x 2 = 1 c / a .

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x 1 + x 2 = - а + b / a = -1 – c / a ,

x 1 x 2 = - 1 (- c / a ),

т.е. х 1 = -1 и х 2 = c / a , что м требовалось доказать.

Примеры.

Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c / a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 - 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х 2 + рх + q = 0

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р - четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 =7±

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х 2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х 2 = - px - q .

Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,

абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

Прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х 2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 3х + 4 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4 . Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13) . Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х 1 = - 1 и х 2 = 4 . Ответ : х 1 = - 1;

х 2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х 2 - 2х + 1 = 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде х 2 = 2х - 1 .

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N (1/2; 0) . Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1 . Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Ответ. Уравнение х 2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и

линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 - корни уравнения ах 2 + b х + с = 0 , и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC , откуда OC = OB OD / OA = х 1 х 2 / 1 = c / a .

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;

2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS SK , или R a + c /2 a ) , окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х 1 ; 0) и D (х 2 ; 0) , где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 .

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример.

Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью

номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений,

помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-

там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из

подобия треугольников САН и CDF получим

пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z 2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2,

получим уравнение

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

3) Для уравнения

z 2 - 25 z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t ,

получим уравнение

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5 t 1 = 3,0 и z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных

уравнений.

Примеры.

1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя

х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у - 16 = 0 .

Решение представлено на рис. 16, где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у 2 - 6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у 2 - 6у = 16.

получаем: (у - 3) 2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25 , или у - 3 = ± 5, где у 1 = 8 и у 2 = - 2.

Заключение

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Литература:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.

Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.

Заявка на руководство

исследовательской работой

Руководитель: Приходько Юрий Владимирович (учитель математики)

Предполагаемая тема: «10 способов решения квадратных уравнений »

Консультанты:

Приходько Юрий Владимирович (учитель математики);

Ерошенков Дмитрий Александрович (учитель информатики)

Образовательная область знания, учебный предмет, в рамках которого проводится работа по проекту математика

Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: математика

Класс обучения: 9 класс

Состав исследовательской группы: Курсин Дмитрий, Павликов Дмитрий

Вид проекта по доминирующей деятельности учащегося: исследование рациональных способов решения квадратных уравнений

Вид проекта по продолжительности: долгосрочный

Вид образования: элективный курс

Необходимое оборудование: научно-популярная литература, связанная с рассмотрением различных способов решения квадратных уравнений

Предполагаемый продукт проекта: создание учебно-методического материала по применению рациональных способов решения квадратных уравнений

Мой секрет

Способы решения квадратных уравнений. Исследовательская работа "10 способов решения квадратных уравнений" 10 способов решения квадратных уравнений

Библиографическая ссылка

Рекомендуем

Практическое занятие "вычисление производных"

Графики тригонометрических функций кратных углов

CCCР готовил мировую революцию с помощью тибетских лам и философского камня

Правильные многоугольники презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему Классическая проблема правильных многоугольников презентация

История наркокартелей мексики Мексиканские наркоторговцы бензопила

Планета Венера — интересные факты

Физико-географическая наука

Характер и его формирование Характер человека и его окружение

История семьи, которая пережила чернобыль Воспоминания о катастрофе в чернобыле

Владимир Мономах – краткая биография Мономах правление кратко

По окончании Первой мировой войны был подписан Версальский мирный договор, установивший новые границы в Западной Европе

Диалоги на французском языке Диалоги о париже на франц языке

Солдаты-срочники больше не будут служить на боевых кораблях и подлодках

Вера Засулич: «кровавая Мэри» или справедливый палач?

Все о Крымском мосте: прогресс строительства, даты открытия, схемы движения Где будет мост в крым

Характер оценочных суждений Как определить оценочный и фактический характер

Парус «Белеет парус одинокой…»

Соединения и воинские части спецназа (1955–1991) 5 я отдельная бригада специального назначения беларусь

Основные даты жизни и творчества н

Флаг австро венгрии в форме круга

Практическое занятие "вычисление производных"

Графики тригонометрических функций кратных углов

CCCР готовил мировую революцию с помощью тибетских лам и философского камня

Правильные многоугольники презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему Классическая проблема правильных многоугольников презентация

История наркокартелей мексики Мексиканские наркоторговцы бензопила